Математический ИИ помог решить задачу, которая полвека не поддавалась людям
Всего через неделю после того, как искусственный интеллект опроверг 80-летнюю гипотезу и поразил математиков, решена еще одна загадка, занимавшая исследователей на протяжении полувека — и тоже не без помощи ИИ.
Ранее неопубликованная модель от OpenAI опровергла важную гипотезу, впервые выдвинутую венгерским математиком Полом Эрдёшем, — так называемую «проблему единичных расстояний». Результат впечатлил научное сообщество — некоторые не ожидали, что это произойдет при их жизни.
И вот, менее чем через неделю, Томас Блум из Манчестерского университета и его коллеги использовали похожее рассуждение, чтобы опровергнуть еще одно знаменитое утверждение, которое Эрдёш впервые выдвинул в 1976 году, — гипотезу о сумме и произведении. Результатами они поделились в препринте на arXiv.
«Это было неожиданно, потому что я сам довольно много думал над этой задачей», — признается Блум.
Увидев трюк, использованный ИИ от OpenAI — применение теории чисел к геометрической задаче, — математики поняли, что можно попробовать то же самое с гипотезой о сумме и произведении.
«Когда ты знаешь, что что-то возможно, ты готов приложить чуть больше усилий, чтобы это действительно сработало», — объясняет Блум.
Гипотеза Эрдёша о сумме и произведении касается множеств. Она утверждает: если взять все числа из множества и попарно либо сложить их, либо перемножить, то одно из новых множеств обязательно окажется намного больше исходного. Например, если перемножить все числа от 1 до 5, получится множество крупнее, чем при сложении, потому что при сложении возникнут повторяющиеся результаты (например, 2+3 и 1+4). А для другого множества, скажем {1, 2, 4, 8, 16} — наоборот, больше окажется множество сумм, потому что множество произведений просто содержит разные степени двойки.
Эрдёш задал минимальный размер большего из двух множеств и предположил, что это условие должно выполняться для любого набора чисел. Блум с коллегами использовали прием с высокой размерностью, который помог раскрыть прошлую загадку. Вместо геометрической прогрессии вроде степеней двойки можно построить прогрессию, работающую одновременно во многих разных измерениях. Это и дает множество, где число различных сумм оказывается намного меньше.
«Меня по-настоящему удивила простота. Конструкцию очень легко описать, и теперь мы действительно понимаем, почему [гипотеза Эрдёша] не работает, а это должно помочь и со многими другими связанными задачами», — подчеркивает автор. «Это типично для математики как соревновательного спорта. Как только появляется новая идея, некоторые люди готовы работать 24 часа в сутки, чтобы найти ей новые применения — и, как правило, у них это получается хорошо и быстро», — комментирует профессор Миша Руднев из Бристольского университета.
По его словам, исходная интуиция Эрдёша состояла в том, что гипотеза должна быть верна в основном для целых чисел. И это до сих пор выглядит правдой, потому что множество, найденное командой Блума, использует экзотические системы счисления, которые становятся все сложнее по мере роста множества.
Для целых чисел гипотеза по-прежнему верна, подтверждает Блум.
«Осталось еще огромное количество работы — мы пока не до конца понимаем, что происходит», — добавляет он.
Работа стала еще одним ярким примером нестандартного подхода к решению казавшихся неразрешимыми задач. «Это расширяет их потенциальную аудиторию, — считает Блум. — Люди в алгебраической теории чисел раньше не особо занимались такими вопросами».
Авторы подчеркивают, что ИИ, хотя и вдохновил их, и помогал в работе (GPT-5.5 Pro подсказал одну из лемм), исследование — плод человеческого труда.