Математики доказали геометрическую теорему через теорию вероятностей
Математики решили давнюю проблему о скрытом порядке в многомерной случайности, причем довольно остроумным путем — доказали геометрическую теорему через теорию вероятностей. Подробности приведены в препринте на arXiv.
Задачу сформулировал в 1995 году лауреат Абелевской премии Мишель Талагран: можно ли создать выпуклую фигуру за фиксированное, не зависящее от размерности пространства число шагов — сумм Минковского?
Сумма Минковского — это сложение множеств, каждой точки с каждой. С ростом числа измерений сложность этих операций и результирующих фигур увеличивается экспоненциально — то, что называют «проклятием размерности».
Сам Талагран не верил, что его гипотезу докажут, и предложил 2000 долларов любому, кто это сделает.
«Я выдвинул это смелое предположение, не имея под ним никакой почвы, — это был просто выстрел наугад. Когда говоришь что-то подобное, сам не веришь, что это может оказаться правдой», — объяснял он.
Выдвигая гипотезу, он сразу показал, что двух сложений для большого выпуклого подмножества недостаточно. В 2025 году другой математик установил, что если заменить сумму Минковского на выпуклые операции, то этот усиленный вариант задачи становится ложным.
За решение взялись Дунмин Хуа и Антуан Сон из Калифорнийского технологического института. Они пытались найти доказательство с помощью ChatGPT. По признанию авторов, модель помогла приблизиться к решению, но не дала его.
Узнав о работе коллег, к ним присоединился Штефан Тудозе из Принстонского университета. Его подход оказался «более общим и концептуальным», чему у нейросети, уточняется в статье.
Математики переформулировали геометрическую гипотезу в задачу теории вероятностей и случайных векторов, и доказали эквивалентную вероятностную гипотезу: любой 1-субгауссовский случайный вектор в n-мерном пространстве можно представить в виде суммы трех стандартных гауссовских случайных векторов.
Этот результат решает проблему выпуклости Талаграна: для любого достаточно большого множества в гауссовом пространстве внутри тройной суммы исходного множества всегда найдется выпуклое множество значительной меры. Решение также подтверждает комбинаторный аналог задачи, что важно для дискретной математики.
В повседневной жизни нас окружает множество технологий, основанных на сложных математических инструментах и алгоритмах. Решение давней математической загадки через неожиданные связи между непрерывным и дискретным мирами может повлиять на науку о данных, машинное обучение и такие области, как оптимизация логистики, где широко распространены похожие модели со сложной случайностью.