Максим является внебрачным сыном известного композитора Исаака Дунаевского. Максим был незаконнорожденным ребенком и лишь в 16 лет смог взять фамилию отца. Исаак так и не женился на его матери, хоть и проводил с ней больше времени, чем с официальной супругой. Когда Максиму было всего 10 лет, умер.