Задачи тысячелетия: гипотеза Римана

Математический институт Клэя в 2000 году определил семь математических проблем тысячелетия как «важные классические задачи, решение которых не найдено вот уже в течение многих лет». За решение этих задач ученый может получить награду в размере одного миллиона долларов. На данный момент шесть из семи задач остаются нерешенными. Среди них — гипотеза Римана.Начало математической карьерыВыдающийся немецкий математик, механик и физик Бернхард Риман родился в 1826 году в городе Бразеленц в Германии. Он рос в небогатой семье священника. Учиться в местную школу мальчик отправился поздно — в 14 лет. Вскоре после этого в семье будущего математика произошла страшная трагедия: мать и две сестры Бернхарда умерли от туберкулеза. Для юноши это стало сильным ударом.Уже со школьной скамьи Бернхард начал интересоваться не только математикой, но и точными науками в целом. Несмотря на это, в 1846 году под влиянием отца Риман поступил в Геттингенский университет, где должен был изучать филологию и богословие, которые совершенно не были интересны молодому человеку. В университете ему удалось прослушать лекции Карла Фридриха Гаусса — одного из величайших математиков всех времен. После этого Бернхард Риман твердо решил посвятить свою жизнь математике.В следующем 1847 году будущий ученый поступил в Берлинский университет, который считался главным в Германии. Здесь он посещал лекции таких выдающихся преподавателей, как Дирихле, Якоби и Штейнер. Еще через пару лет Риман возвращается в Геттингенский университет, где знакомится и начинает близкую дружбу с физиком Вильгельмом Вебером, а также математиком Рихардом Дедекиндом.Наконец, в 1851 году Риман защитил диссертационную работу на тему «Основания теории функций комплексной переменной». Именно в этом труде он впервые вывел понятие, которое позже получит название «риманова поверхность». Она позволяет геометрически представить функции комплексной переменной. Риман будет и дальше изучать поверхности такого рода и их свойства.С 1854 года Бернхард работает в Геттингенском университете. В 1857 году Риман, желая получить должность экстраординарного профессора, выступил с докладом перед всем профессорско-преподавательским составом университета на тему «О гипотезах, лежащих в основании геометрии». Именно эта работа положила начало римановой геометрии, а ее публикация (уже после смерти ученого) стала эпохальным событием в истории математики. Но на должность Римана так и не утвердили.Одна из самых сложных загадок тысячелетияВ 1859 году Бернхард стал ординарным профессором и начал читать лекции по математике. Вскоре он отправился в Берлинский университет вместе с Дедекиндом, где прочитал свою работу «О числе простых чисел, не превышающих заданной величины». Благодаря ей Римана избрали членом Берлинской академии наук.В этом исследовании ученый сформулировал интегральное представление дзета-функции Римана:ζ(s) = 1–s + 2–s + 3–s + …На основе этого исследования Риман представил гипотезу, которую уже более 160 лет никто не может доказать. Звучит она так: «Все нетривиальные нули дзета-функции имеют вещественную часть, равную ½». Это означает, что дзета-функция равна нулю или в отрицательных четных числах (такие нули называются тривиальными), или в комплексных числах с вещественной частью ½.Многие математические и физические задачи оказываются связаны с гипотезой Римана. Одна из них — распределение простых чисел на числовой прямой (то есть количество простых чисел меньше какого-либо заданного числа). Если в комплексной плоскости провести линию из точек с вещественной частью ½ и отметить на ней нули дзета-функции (в соответствие с гипотезой они все окажутся на этой линии), то получившийся рисунок должен быть связан с распределением простых чисел на числовой прямой.Пока что официального доказательства или опровержения этой гипотезы нет, однако британский математик Майкл Атья, лауреат Филдсовской премии (1966) в 2018 году заявил, что нашел доказательство. Оно совсем небольшое: всего 15 строк, а вместе со списком литературы — пять страниц. Пока что доказательство не подтверждено, однако, если это произойдет, Атья получит награду в размере одного миллиона долларов и впишет свое имя в историю математики.Подписывайтесь на InScience.News в социальных сетях: ВКонтакте, Telegram, Facebook и Twitter.