Теория вероятностей, или Власть случайности над миром
Интуиция подвела
Несколько лет назад один не очень образованный испанец выиграл в лотерею. Номер его билета заканчивался цифрой 48. В интервью он заявил: «Прежде чем я выбрал цифры, семь ночей подряд мне снилась семерка… а семью-семь — это же и есть сорок восемь!» Те, кто помнит таблицу умножения, уже наверняка хмыкнули: семью-семь — 49.
Теория вероятностей — один из самых сложных разделов математики. Для неподготовленного человека анализ случайных событий — непростая задача. Слишком часто наша интуиция приводит к ошибкам в обработке и анализе информации. Их называют «когнитивные искажения».
Термин ввел в обиход психолог Дэниел Канеман. В середине 60-х он по просьбе министерства обороны читал лекции для инструкторов израильских ВВС. В них, в частности, он рассказывал о последних исследованиях в области мотивации. А именно: при обучении подчеркивание успехов, похвала полезнее, чем критика, указание на ошибки и наказание.
Инструкторы с ним не согласились: по их словам, если курсант ошибается и его наказывают, то сразу после этого он работает гораздо лучше. Тогда Канеман задумался: почему опыт инструкторов так отличается от результатов научных исследований?
Оказалось, всему виной эффект, который называется «регрессия к среднему». В ряду случайных событий за событием из ряда вон выходящим скорее всего последует ординарное. Совершенствование навыка зависит от многих факторов, в том числе и от длительных тренировок. Мастерство растет медленно. Так что любой особенно удачный или, наоборот, неудачный полет будет зависеть в большей степени от случайности. Если курсант приземляется неудачно, хуже своего среднего уровня, скорее всего ему просто не повезло. И велика вероятность, что в следующий раз он отлетает гораздо ближе к личной норме, то есть лучше. Независимо от того, наказали ли его.
Почему контроль — это иллюзия
Люди слишком доверяют интуиции, часто делают поспешные выводы, что в итоге приводит к систематическим ошибкам при обработке информации. Одно из распространенных когнитивных искажений — «иллюзия контроля», когда человек слишком переоценивает свою власть над ситуацией.
К примеру, популярное заблуждение из мире спорта: победа или поражение команды зависят от профессиональных качеств тренера. Команда проигрывает турнир — тренера увольняют. Так вот недавно провели математический анализ: в общем и целом, увольнения эти на характер игры не влияют — незначительные улучшения, которые достигаются сменой тренера, обычно перекрываются случайными событиями в ходе игры, поведением отдельных игроков или всей команды.
50 на 50, или Главный враг игрока в казино
Но пожалуй, самое известное и сложное искажение, связанное с теорией вероятностей — ошибка игрока, главный враг любого азартного человека. Смысл в том, что на уровне интуиции мы считаем, что уже произошедшие в прошлом случайные события каким-то образом могут повлиять на такие же случайные события в будущем.
К примеру, человек шесть раз подряд ставил на красное, и все шесть раз выпадало черное. Интуиция в такой ситуации обязательно подскажет: в следующий раз уж точно выпадет красное. Но это не так. Каждый бросок шарика — это отдельное событие и оно никак не зависит от того, что случилось в прошлом. При любом броске шарика на колесо рулетки шансы выпадения красного или черного — 50 на 50.
Теория вероятностей предлагает передумать
Мерилин Вос Савант в 1986-м была внесена в книгу рекордов Гиннеса как обладательница самого высокого IQ в мире. Ей предложили вести колонку «Спросите Мерилин» в журнале Parade. Главный редактор решил, что ответы самого умного человека непременно будут пользоваться популярностью. Так и вышло.
Но один из ответов стал сенсацией: «Имеет ли смысл менять дверь в знаменитой телевикторине "На что спорим"»? В этом шоу участнику предлагают на выбор три двери: за одной — машина, за двумя другими — коза. Когда выбор сделан, ведущий по имени Монти Холл, которому известно, где машина, открывает одну из двух оставшихся дверей. Все видят, что там коза, а участнику предлагается поменять свой выбор.
На первый взгляд ответ очевиден. Остаются две двери: откроешь одну — выиграешь, откроешь другую — проиграешь. Вроде бы шансы 50 на 50. Но женщина с самым высоким IQ ответила по-другому: «Да, с точки зрения теории вероятностей дверь стоит поменять». Задачка с выбором двери оказалась настолько популярной, что получила название по имени ведущего программы: «Парадокс Монти Холла».
Итак, у вас три возможных исхода: машина за дверью 1, машина за дверью 2, машина за дверью 3. Вероятность каждого исхода — 1 к 3. То есть шансы на победу — примерно 33%. Шансы ошибиться — вдвое выше, 2 к 3. Примерно — 66%. Теперь открывают одну из дверей. Там коза. Но шансы сделать такой выбор были примерно 33%. И раз вы не меняете дверь, даже с учетом новых данных, ваши шансы на победу остаются прежними. Те же самые 33%, а не 50 на 50! Не 1 к 2, а 1 к 3.
Фокус в том, что на оба ваших выбора нужно смотреть, как на единое пространство событий. Когда вы первый раз выбирали одну дверь из трех шансы, шансы ошибиться были выше, чем угадать. 66% против 33%. Так что, если исходить из того, что ваш первый выбор был ошибочным, что более вероятно, то дверь нужно менять, ведь так ваши шансы на победу растут с 33% до 66%.
Этот случай с ответом Мерилин вос Савант стал причиной большого скандала. Десятки известных математиков назвали обладательницу титула «самый умный человек планеты» глупой и упрямой девчонкой. Когда появилось математическое доказательство правильности ее ответа, шумиха поутихла. После компьютерное моделирование показало: при смене двери победы случаются в два раза чаще.
Можно ли учесть все условия?
Однако в жизни «чистыми числами» мы оперируем редко, чаще попадаются различные «если…, то...». Разновидность вероятностей, когда есть некое условие, так и называют — условная вероятность. К примеру, вероятность того, что у человека начнется кашель в любой произвольный день — 5%. Но если мы вдруг узнаем, что человек этот болен простудой, то и вероятность появления кашля будет существенно выше.
Вероятность наступления одного события при условии наступления другого помогает рассчитать теорема Байеса, названная так в честь пресвитерианского священника и математика XVIII века.
В конце 80-х годов уже XX века выдающийся ученый и автор самой популярной книги о теории вероятностей «Несовершенная случайность» Леонард Млодинов решил расширить свою медицинскую страховку. Он сдал анализ на ВИЧ и ему внезапно сообщили, что анализ положительный. В то время лечения не было и ученый решил, что жизнь его закончена: в больнице сказали, что шанс ошибки — 1 к 1000.
Однако он вспомнил теорему Байеса. В 1 случае из 1000 анализ на ВИЧ может дать положительный результат даже в случае, если в крови вируса нет. Но ведь общее количество заражений — это и есть условие, от которого зависит исход.
В 1989 году в США на 10 000 анализов в среднем приходилось только 10 ВИЧ-инфицированных. И здесь соотношение 1 к 1000. Получается, что шансы заболеть и получить ложноположительный результат одинаковые? Более точные результаты мы получим, если примем во внимание некоторые дополнительные сведения: белый гетеросексуальный американец, не принимающий наркотики, долго живущий в браке… Согласно отчетам, на 10 000 таких мужчин тогда приходился только ОДИН ВИЧ-инфицированный. Получается, для Млодинова шанс получить ложноположительный результат был выше, чем шанс реально заболеть. Тест в итоге действительно оказался ложноположительным.
Неправильная оценка исходных условий — самая распространенная ошибка при анализе случайных событий. Недаром труды Байеса называют основой теории вероятностей.
Правдивы только большие числа
В 1940-х годах южноафриканский математик Джон Керрич подбрасывал монетку 10 тысяч раз и каждый раз записывал результат. У него было много времени — в то время Керрич был военнопленным. Согласно полученным данным, после 10 бросков орлы выпадали в 35% случаев, после 100 — в 44%, и лишь когда было сделано 10 тысяч бросков, цифра оказалась гораздо ближе к половине: 50,67%.
Эту закономерность объяснил еще в XVII веке швейцарский математик Якоб Бернулли. Он вывел так называемую «золотую теорему», известную сегодня как «закон больших чисел».
Бернулли представил сосуд с 3 тысячами белых камней и 2 тысячами черных, т.е. процентное соотношение 60 на 40. Но как его определить, не доставая все камни из вазы?
Нужно доставать по одному и считать. Но камни потом придется класть обратно, чтобы сохранялось исходное соотношение 3 к 2. А тогда где гарантия, что один и тот же не попадется дважды или трижды?
Просто вытаскивать по одному камню, записывать результат? Известно, что шансы вытащить белый камень 3 к 2. Давайте достанем 5 камней. Продемонстрирует ли эта выборка реальное положение вещей? 10? Тоже не очень правдоподобно. Сколько же нужно достать камней, чтобы получить более-менее правдоподобное представление о содержимом вазы? Чем больше, тем надежнее результат.
Прочь от крайностей в пользу среднего
Распределение случайностей подчиняется общему закону, который так и назвали «закон нормального распределения». Точнее всех его сформулировал немецкий математик Карл Фридрих Гаусс.
Гаусс нарисовал систему координат, расположил на оси ординат количество попыток измерить, скажем, расстояние от Земли до Солнца, а по оси абсцисс полученные результаты. Больше всего исследователей получили более-менее верный результат, близкий к 150 миллионам километров. Но естественно, были и те, кто ошибся в большую и в меньшую стороны. Именно такой график в форме колокола получается при анализе любых случайных ошибок в любом виде измерений.
Но если значение имеют только большие числа, то как же быть с личным опытом? Классика: «Вот говорят, что курить вредно, а мой дедушка курил и до 100 лет дожил!» А если взять 10 000 таких курящих дедушек?
Между статистическими выкладками и реальной жизнью нет прямой зависимости. Статистика, как ни странно, ровным счетом ничего не говорит конкретно о вас. Она обезличена. Лично вы можете совершенно случайно оказаться в любой точке графика Гаусса.
К примеру, по статистике в США около 200 млн водителей и за 2007 год они наездили в общей сложности 2,86 трлн миль. Это около 23 тысяч км на водителя. И представим, что все эти водители собрались вместе и решили в следующем году повторить рекорд. Что для этого нужно? Не делать ничего.
Согласно данным Национального управления по безопасности дорожного движения, в 2008 году водители наездили почти столько же, сколько и год назад. Каждый в среднем превысил годовую норму всего лишь на 160 км. Мы часто связываем случайность с отсутствием упорядоченности. И с одной стороны невозможно спрогнозировать как сложится жизнь каждого конкретного водителя, но поведение 200 млн водителей едва ли может быть более предсказуемым.
Подготовлено по материалам программы «Несовершенная случайность» телеканала «Наука».
Возможны ли путешествия во времени?
Алексей Егоров: «Наш мозг не любит случайностей и ищет связи там, где их нет»