Задачи тысячелетия: гипотеза Пуанкаре

Задачи тысячелетия — это семь математических проблем, которые определил Математический институт Клэя. За решение каждой из этих задач ученому выплачивается вознаграждение в размере одного миллиона долларов. В преддверии Международного конгресса математиков, который пройдет в Санкт-Петербурге в 2022 году, мы начинаем серию материалов о задачах тысячелетия. Сегодня мы расскажем о гипотезе Пуанкаре — единственной задаче, которую удалось решить. Сделал это выдающийся российский математик Григорий Перельман.«Мадам, ваш сын будет математиком!»Гениальный французский ученый Жюль Анри Пуанкаре родился 29 апреля 1854 года в городе Нанси. Пуанкаре внес огромный вклад во многие разделы математики, физики и механики. Он разработал качественные методы теории дифференциальных уравнений и топологии, а также основы теории устойчивости движения, еще до Эйнштейна сформулировал основные положения специальной теории относительности. Даже в философии ученый смог создать новое направление — конвенционализм.Пуанкаре получил домашнее образование, которое ему дал друг семьи Альфонс Гинцелин — эрудированный и широко образованный преподаватель. На домашнее обучение мальчика перевели из-за последствий перенесенной дифтерии — на протяжении долгого времени Пуанкаре оставался не только прикованным к кровати, но и немым (из-за паралича). Впоследствии у ученого на всю жизнь останется очень яркое восприятие звуков — каждый гласный звук у него ассоциировался с каким-либо цветом (это явление называется синестезия).В восемь лет мальчик поступил в девятый класс лицея (отсчет классов шел в обратном порядке, десятый был начальным, а первый — выпускным). Ученик был прилежным и любознательным, преподаватели его любили. Однажды в дом Пуанкаре пришел один из преподавателей и заявил матери: «Мадам, ваш сын будет математиком!» Не увидев на ее лице никакого удивления, преподаватель поправил: «Я хочу сказать, он будет великим математиком!»Однако Пуанкаре перешел на словесное отделение. Вероятно, это произошло из-за родителей, которые считали, что их сын должен получить гуманитарное образование. В 16 лет юный ученый помогал своему отцу-врачу в суровые дни лета 1870 года, когда Франция начала войну с Пруссией.В 1871 году Пуанкаре сдал экзамены на бакалавра словесности с оценкой «хорошо». Он показывал прекрасные результаты, и преподаватели надеялись получить невероятного мыслителя, если бы он пошел на филологический факультет. Однако Пуанкаре спустя несколько дней изъявил желание сдать экзамен на степень бакалавра наук. Этот письменный экзамен прошел неудачно: во-первых, Пуанкаре на него опоздал. Во-вторых, он плохо понял задание и дал ответ не на тот вопрос — итогом стала неудовлетворительная оценка. Однако в университете, где проходил экзамен, знали о выдающихся способностях юного математика, и достойная отметка на устном экзамене смогла компенсировать первую неудачу.В 1873 году математик поступил в Политехническую школу, которая готовила претендентов на высшие технические должности в государственном аппарате и в армии. После нее он поступил в Горную школу — престижное учебное заведение. Там на втором курсе он начинает проводить научные исследования.После выпуска в 1789 году Пуанкаре стал горным инженером, проработав всего около полугода. Затем он ушел преподавать. В 1881 году в авторитетном научном журнале появилась его заметка о фуксовых функциях. Благодаря ей он становится очень известен в научных кругах, и вскоре его приглашают работать в Парижский университет преподавателем. Примерно в это же время Пуанкаре создал новый раздел математики: качественные методы теории дифференциальных уравнений.Осенью 1886 года Пуанкаре стал заведующим кафедры математической физики и теории вероятностей Парижского университета, а в январе 1887 года стал членом Академии наук Франции.Нитки в шариках и бубликахВ 1904 году Пуанкаре сформулировал гипотезу, которая около века была одной из самых сложных математических задач. Звучит она так: «Всякое односвязное компактное n-мерное многообразие без края гомеоморфно n-мерной сфере». Что же это значит?В качестве простейшего примера возьмем воздушный шарик. Его можно по-разному деформировать, однако из шарика невозможно сделать фигуру в форме пончика (в топологии это называется тор), не разрезав его. Превратить резиновый пончик в шар тоже не получится — дырка в середине все портит. По своим топологическим свойствам эти две фигуры несовместимы, то есть негомеоморфны. Дело в том, что пончик неодносвязан — это означает, что у него есть отверстие, через которое можно протянуть нитку, и пончик повиснет на ней. А вот шар односвязан, у него нет такой дырки, — и это фундаментальная разница между объектами. При этом шар можно деформировать как угодно (стягивать, скручивать — без разрезов и склеек), а потом снова вернуть к исходной форме. В этом и заключается гипотеза Пуанкаре — любой односвязный объект можно «превратить» в шар.С двухмерными поверхностями все было понятно уже в XIX веке, а гипотеза расширила эту закономерность на многомерные случаи. Именно трехмерные «шарики» и «пончики» оказались самыми сложными. В 1960 году гипотезу доказали для пятимерных (и более) многообразий, а в 1982 — для четырехмерных.ДоказательствоГипотеза Пуанкаре для трехмерных многообразий стала одной из самых сложных математических (а именно — топологических) задач на протяжении около ста лет. Решить ее смог Григорий Перельман — российский математик из Ленинграда.Григорий Перельман опубликовал доказательство гипотезы Пуанкаре в 2002–2003 годах, изложив его в трех статьях. По его словам, «подсказку» для решения этой задачки ему дал профессор математики из Колумбийского университета Ричард Гамильтон, на лекции которого присутствовал Перельман. За решение одной из семи важнейших математических проблем тысячелетия Перельману была предложена премия в размере миллиона долларов, однако математик отказался от нее. В 2010 году он не приехал на математическую конференцию в Париже, где должна была вручаться награда, прокомментировав это так: «Я отказался. Вы знаете, у меня было очень много причин и в ту, и в другую сторону. Поэтому я так долго решал. Если говорить совсем коротко, то главная причина — это несогласие с организованным математическим сообществом. Мне не нравятся их решения, я считаю их несправедливыми. Я считаю, что вклад в решение этой задачи американского математика Гамильтона ничуть не меньше, чем мой».Подписывайтесь на InScience.News в социальных сетях: ВКонтакте, Telegram, Facebook и Twitter.