Причиной смерти военнослужащего стали последствия коронавирусной инфекции. По информации издания, он месяц провел в госпитале, однако состояние только ухудшалось. Квашнин скончался от инфаркта. Информация о дате и месте прощальной церемонии не поступала.
Анатолий Васильевич возглавлял Генштаб вооруженных сил РФ с 1997 по 2004 год. После его назначили на должность полномочного представителя президента РФ в Сибирском федеральном округе.